RAFAEL RESENDE DAHER

Quantização covariante de Batalin, Vilkovisky e Fradkin

A ligação entre os métodos canônicos e covariantes de quantização da gravidade é estabelecida pela construção da quantização canônica generalizada de Batalin, Vilkovisky e Fradkin (BVF), cuja relação com a quantização de Dirac, Wheeler e DeWitt e com a redução unitária é discutida em detalhes na literatura especializada.

A essência do método BV, quando aplicado à fixação de calibre relativística, consiste em tratar os multiplicadores de Lagrange como variáveis dinâmicas quantizadas. Para compensar os graus de liberdade excedentes, torna-se necessário introduzir os fantasmas de Faddeev-Popov. Além disso, impõe-se ao vetor do espaço de Hilbert ampliado a condição de anulação da carga de Becchi-Rouet-Stora-Tyutin (BRST).

Essa abordagem é particularmente conveniente para construir a matriz S, cuja independência em relação à escolha do calibre e à camada de massa é demonstrada em termos gerais. No contexto cosmológico, contudo, não existe a noção de limite in, associada a uma região assintoticamente plana do espaço-tempo no passado remoto. Por essa razão, o método ou se reduz à problemática da quantização de Dirac, Wheeler e DeWitt ou exige outros tipos de quantização por operadores, que ainda precisam ser desenvolvidos.

Integração sobre trajetórias

“A divisão do espaço-tempo em três dimensões espaciais e uma dimensão temporal parece contrariar o próprio espírito da teoria da relatividade. Além disso, ela restringe a topologia do espaço-tempo a um produto direto entre uma linha temporal e uma determinada variedade tridimensional, embora fosse razoável esperar que a gravidade quântica admitisse todas as topologias possíveis do espaço-tempo, inclusive aquelas que não assumem a forma de um produto direto.”

Com essa crítica à quantização canônica, Hawking escreveu um artigo para uma coletânea dedicada ao centenário de Einstein.

No método covariante, em oposição ao método canônico, o instrumento fundamental é a integral funcional de Feynman sobre os campos do espaço-tempo, isto é, sobre as diferentes configurações possíveis da geometria e da matéria. O integrando contém a exponencial da ação, enquanto a integração percorre as configurações dos campos compatíveis com as condições impostas nas hipersuperfícies inicial e final. A medida de integração inclui a fixação de calibre.

A formulação covariante é compatível com o método canônico de quantização, pois, mediante uma definição apropriada da integral funcional, o núcleo de propagação obtido dessa maneira constitui uma solução da equação de Wheeler-DeWitt em relação às variáveis que descrevem as geometrias inicial e final.

Em particular, ao postular uma rotação euclidiana do tempo e contrair a hipersuperfície inicial até um ponto, exigindo que todos os campos permaneçam regulares nesse ponto, Hartle e Hawking obtiveram sua célebre solução da equação de Wheeler-DeWitt: a chamada função de onda do Universo sem fronteira (no-boundary wave function).

Entretanto, a analogia entre esse núcleo de propagação da gravidade quântica e o núcleo de Feynman da mecânica quântica ou da teoria quântica de campos exige cautela. As regras usuais de composição, utilizadas na formulação de Hartle e Hawking e baseadas na integração sobre todos os pontos finais de uma configuração em determinado instante, não se aplicam diretamente nesse caso. O motivo é que o núcleo de propagação satisfaz equações de vínculo e que a integração ingênua sobre as configurações relevantes diverge. Esse problema é discutido nas seções posteriores do artigo.

O método da ação efetiva

Em lugar das amplitudes de transição, a teoria também pode ser formulada por meio de uma ação efetiva explicitamente covariante, definida por uma transformação de Legendre do funcional gerador associado às fontes externas.

Na aproximação de árvore, a ação efetiva coincide com a ação clássica original. Em seguida, surgem as contribuições de um laço, proporcionais à constante de Planck, e as correções de ordens superiores.

A principal vantagem do método da ação efetiva consiste em permitir o trabalho não apenas com estados quânticos, mas também em fornecer um algoritmo de cálculo covariante, incluindo procedimentos de regularização covariante para valores médios quânticos. Esse recurso é demonstrado na quarta seção do artigo, na qual o formalismo é aplicado ao problema da criação quântica do Universo, permitindo calcular uma função de distribuição e determinar a escala da inflação.

Apesar de suas vantagens, o formalismo da ação efetiva não substitui os princípios fundamentais da quantização por operadores. A forma da ação efetiva depende da escolha das condições assintóticas dos campos na integral funcional, isto é, da escolha dos estados inicial e final. Além disso, na definição convencional da ação efetiva, os resultados dos cálculos variam sob reparametrizações dos campos que constituem os argumentos do funcional. Fora da camada de massa, a ação efetiva também depende da escolha das condições de fixação de calibre.

Vilkovisky e DeWitt deram passos importantes para construir uma ação efetiva unívoca, fundamentada na ideia particularmente elegante de geometrizar o espaço das trajetórias. Aplicações desse método são discutidas em trabalhos especializados.

Em algumas dessas formulações, a representação contínua da ação efetiva de Vilkovisky e DeWitt incorpora os chamados difeomorfismos residuais ou grandes difeomorfismos, associados às cópias de Gribov, isto é, aos zeros do operador de Faddeev-Popov na condição de calibre relativística de Landau-DeWitt.

Do ponto de vista físico, isso equivale a exigir que os observáveis permaneçam invariantes sob esses difeomorfismos. Demonstra-se, contudo, que essa exigência não é trivial: ela impõe fortes restrições à métrica de fundo admissível e conduz ao chamado afastamento quântico das soluções clássicas livres, isto é, das soluções das equações clássicas da dinâmica sem fontes externas.

Meios externos e fontes externas aparecem em diferentes contextos quando se tenta obter um limite clássico fisicamente razoável para a cosmologia quântica.

O estatuto observacional da gravidade quântica e o problema do limite clássico

Existem, ao que parece, duas objeções à afirmação, frequentemente repetida e aparentemente evidente, de que a gravidade quântica não pode ser submetida a testes experimentais, nem no futuro previsível, porque as escalas de Planck são completamente inacessíveis aos experimentos.

O primeiro campo de investigação experimental é o Universo primordial, especialmente o problema de seu estado inicial. Assim como as teorias inflacionárias estabelecem uma relação estreita entre concepções teóricas sobre escalas de energia extremamente elevadas, associadas à grande unificação, e detalhes muito sutis da estrutura do Universo observável, a questão da escolha do estado quântico inicial do Universo também pode ter relevância prática.

O segundo tipo de teste da cosmologia quântica está relacionado à experiência cotidiana. É um fato incontestável que vivemos em um espaço-tempo riemanniano de quatro dimensões, três espaciais e uma temporal, que se comporta de maneira praticamente clássica. As distâncias entre os pontos do espaço-tempo são suficientemente bem definidas porque as flutuações quânticas da métrica são pequenas.

Se uma teoria encontra dificuldades para explicar a formação de um estado quântico do Universo com um pico de coerência tão estreito que reproduza esse comportamento clássico, isso indica a necessidade de modificar a teoria e, se necessário, reconsiderar seus princípios fundamentais.

O problema do limite clássico tornou-se um teste decisivo para a gravidade quântica, impulsionando uma reavaliação dos próprios fundamentos da teoria quântica.

Praticamente todos os trabalhos dedicados ao problema do limite clássico sustentam que a construção do tempo e do espaço-tempo clássico é impossível a partir de uma função de onda puramente isolada do Universo. O sistema precisaria ser aberto, contendo graus de liberdade externos em relação aos quais se pudesse realizar uma operação de traço parcial. Essa operação eliminaria os elementos não diagonais da matriz densidade, produzindo a chamada decoerência quântica.

Entretanto, não está excluído que a preocupação geral com os fundamentos da teoria seja excessiva nesse caso. É bem conhecido que, na mecânica quântica, uma função de onda quase clássica não basta para assegurar que uma partícula se comporte classicamente.

Para isso, é necessário um pacote de ondas, ou estado coerente, acompanhado de um fator de amplitude cuja distribuição máxima se desloque ao longo da trajetória clássica determinada pelas equações de Hamilton-Jacobi. A dispersão em torno dessa trajetória deve ser pequena, assim como a velocidade com que o pacote se espalha.

Desse modo, a questão do surgimento de um espaço-tempo aproximadamente clássico equivale a investigar como preparar o estado inicial do Universo de maneira que as componentes do tensor métrico apresentem pequenas dispersões em determinado ramo da solução das equações de Hamilton-Jacobi.

Durante a criação quântica do Universo por tunelamento a partir de um estado com assinatura euclidiana, um estado inicial desse tipo pode surgir quando se levam em conta as correções quântico-gravitacionais de um laço. Os parâmetros desse estado inicial encontram-se em boa concordância com o estatuto observacional do Universo inflacionário.

As hipersuperfícies tridimensionais que delimitam a variedade M não precisam ser simplesmente conexas. É perfeitamente admissível considerar um estado de “múltiplas partículas” ou de “múltiplos universos”, no qual a função de onda descreve simultaneamente configurações associadas a diferentes variedades tridimensionais. Nesse caso, o número de universos representados na fronteira inicial pode ser diferente daquele encontrado na fronteira final. Isso permite a ocorrência de transições topológicas, denominadas “espuma do espaço-tempo”, na gravitação quântica, uma ideia que remonta a John Archibald Wheeler.

A inclusão, nos argumentos da função de onda gravitacional, de variedades com topologias complexas, destinadas a descrever o Multiverso, conduz naturalmente à necessidade de uma terceira quantização. Nessa abordagem, a função de onda do Universo, que satisfaz a equação de Wheeler-DeWitt, deixa de ser tratada como uma função ordinária e passa a ser considerada um operador. A equação de Wheeler-DeWitt assume, nesse contexto, uma estrutura análoga à equação de Klein-Gordon, com um número infinito de graus de liberdade associados às possíveis configurações do espaço tridimensional.

Uma nova física emerge quando são considerados processos nos quais o número de universos varia. Essa possibilidade exige a introdução de interações entre universos, tratados matematicamente como partículas relativísticas, o que corresponde à inclusão de termos não lineares na equação de Wheeler-DeWitt.

A questão fundamental consiste em determinar a origem dessas interações e verificar se elas podem ser derivadas da própria ação de Einstein, que constitui o ponto de partida da gravitação quântica. Inspirando-se no procedimento empregado na teoria das cordas, seria natural tentar definir os vértices de interação mediante uma integração funcional sobre geometrias euclidianas de quatro dimensões. O procedimento consistiria em retirar pequenas regiões de uma hiperesfera quadridimensional e calcular a média sobre todas as geometrias topologicamente equivalentes à esfera, mantendo fixas as geometrias tridimensionais nas fronteiras das regiões removidas.

Essas regiões quadridimensionais poderiam ser interpretadas como gargantas de buracos de minhoca, conectando a esfera euclidiana a outros espaços euclidianos ou, mediante uma mudança de assinatura métrica, a universos lorentzianos. A função de onda sem fronteiras de Hartle e Hawking corresponde a um vértice de primeira ordem. Já o nascimento de um universo lorentziano a partir do “nada” pode ser associado a uma mudança de assinatura da métrica quando a região removida atinge seu raio máximo, correspondente, nesse caso, a uma semiesfera.

Entretanto, as amplitudes obtidas por esse procedimento precisam satisfazer determinadas condições físicas. Após a integração funcional sobre as funções que descrevem a geometria e seus deslocamentos, elas devem obedecer à equação de Wheeler-DeWitt em cada uma de suas extremidades. Na linguagem da matriz de espalhamento, isso significa que devem estar “sobre a camada de massa”, isto é, satisfazer as condições dinâmicas impostas às configurações físicas. Por essa razão, tais amplitudes não podem ser utilizadas diretamente como vértices elementares de interação.

Uma linha de investigação particularmente importante é a teoria dos buracos de minhoca e o desenvolvimento da hipótese, bastante ousada, de que esses objetos seriam capazes de renormalizar e talvez até determinar dinamicamente todas as constantes da física de baixas energias. A ideia consiste em admitir a existência, em cada ponto de um grande universo hospedeiro, de buracos de minhoca virtuais que conectariam esse ponto a outro ponto do mesmo universo ou a universos-filhos.

Para ilustrar essa possibilidade, considere-se a métrica de um buraco de minhoca elementar em um espaço euclidiano de n dimensões, expressa por diferentes parametrizações da coordenada radial. Nessa descrição, o elemento de linha depende da coordenada radial, do raio da garganta e da geometria de uma esfera de n menos um dimensões.

A primeira forma da métrica é particularmente esclarecedora. Quando o parâmetro que caracteriza a garganta é igual a zero, recuperamos a métrica plana em coordenadas esféricas. Quando esse parâmetro assume qualquer valor positivo, por menor que seja, surgem dois espaços infinitos assintoticamente planos, conectados por uma garganta cujo raio corresponde ao valor desse parâmetro.

Uma formulação alternativa dessa geometria foi utilizada em trabalhos que levantaram a hipótese de que os buracos de minhoca provocariam a perda de coerência de um estado quântico inicialmente puro, em razão do vazamento irreversível de informação através dessas conexões. Uma hipótese oposta sustenta que os buracos de minhoca exerceriam uma influência coerente sobre os processos físicos, em vez de destruírem a coerência quântica.

Em trabalhos posteriores, Rubakov investigou o papel das transições quânticas que modificam a topologia no contexto da teoria das cordas, isto é, em uma teoria gravitacional formulada em duas dimensões. Nessa descrição, o nascimento de universos-filhos, representados por cordas, equivale ao processo convencional de emissão de grávitons em um espaço-tempo de dimensão D, denominado “espaço-alvo”.

Essa análise indica a existência de dois fenômenos distintos, cada qual predominante em determinada faixa de energia: a perda de coerência quântica e a renormalização coerente das constantes do campo efetivo. Nesse segundo caso, as propriedades dos buracos de minhoca alteram os parâmetros que caracterizam a física observável.

É importante observar que, para as métricas apresentadas, o volume associado à garganta varia proporcionalmente à enésima potência de seu raio. Consequentemente, a dinâmica quântica suprime fortemente a formação de buracos de minhoca microscópicos em cada ponto do grande universo.

Formalmente, toda a teoria da renormalização das constantes pelos buracos de minhoca pode ser reduzida a uma técnica diagramática semelhante à empregada na teoria quântica de campos. Nessa representação, as linhas correspondem a funções de Green específicas, que apresentam uma não localidade extrema, pois não dependem apenas dos pontos de entrada e saída do buraco de minhoca. Os vértices, por sua vez, contêm integrais sobre diferentes operadores locais em todo o volume do espaço-tempo.

Na aproximação de “gás diluído”, em que os buracos de minhoca não interagem entre si, esse mecanismo produz uma renormalização efetiva das constantes de interação observáveis. Diferentemente do que ocorre na teoria quântica de campos convencional, a contribuição dominante não vem necessariamente da região ultravioleta, correspondente às energias mais elevadas e às distâncias mais curtas. Ela pode surgir, ao contrário, da região infravermelha extrema, associada às energias mais baixas e às maiores distâncias. Desse modo, propriedades globais do Universo, manifestadas em escalas cosmológicas, influenciariam os parâmetros da física local que medimos experimentalmente.

Em outra linguagem, a aproximação de “gás diluído” corresponde à utilização de uma aproximação de campo médio para resolver a equação de Wheeler-DeWitt com termos não lineares, na qual a função de onda do Universo é tratada como um operador. Embora esses conceitos sejam difíceis de interpretar na formulação quadridimensional, tornam-se mais claros quando traduzidos para a linguagem da teoria das cordas, cuja formulação gravitacional bidimensional oferece uma estrutura matemática mais manejável.

Atualmente, os buracos de minhoca clássicos e quânticos constituem um campo de investigação bastante ativo. Além das questões relacionadas à topologia, à coerência quântica e à renormalização, existe uma linha de pesquisa voltada aos buracos de minhoca lorentzianos e às chamadas máquinas do tempo. Essas investigações envolvem problemas relativos às viagens ao passado e aos paradoxos causais, como o conhecido experimento mental em que uma pessoa viaja ao passado e mata a própria avó, impedindo as condições necessárias para o seu nascimento.

É importante destacar a profunda relação entre os buracos de minhoca e a mudança de assinatura da coordenada radial. Essa conexão torna-se evidente quando a métrica é escrita em uma parametrização na qual a coordenada radial transformada representa o fator de escala de uma esfera de n menos um dimensões.

Quando essa coordenada assume valores inferiores ao raio da garganta, entramos na região classicamente inacessível correspondente à métrica considerada. Nessa região, a coordenada passa a assumir caráter temporal, em vez de espacial. Sakharov empregou uma expressão da componente temporal da métrica para ilustrar essa ideia de mudança de assinatura.

Mudança de assinatura métrica

Na integral funcional da gravitação quântica, geometrias euclidianas e pseudo-euclidianas com diferentes números de direções temporais, atribuindo-lhes o mesmo estatuto fundamental. Nessa formulação, para as métricas lorentzianas, a unidade imaginária que aparece na exponencial da integral funcional surge automaticamente em decorrência do fator associado à raiz do determinante da métrica.

A ideia de dimensões temporais adicionais já havia sido discutida anteriormente. A principal contribuição de Sakharov consistiu em explorar a possibilidade de transições quânticas por tunelamento entre espaços com assinaturas métricas diferentes.

Para ilustrar essa possibilidade, Sakharov apresentou um exemplo simples: a mudança de sinal da componente temporal do tensor métrico durante a passagem por um ponto singular, conforme varia uma coordenada espacial perpendicular à fronteira que separa uma região euclidiana de outra lorentziana.

De um lado dessa fronteira, a métrica apresenta assinatura euclidiana; do outro, assume assinatura lorentziana. Sakharov observa que, em cada uma dessas regiões, é possível introduzir um tempo próprio, definido mediante transformações apropriadas das coordenadas.

Como será demonstrado posteriormente, a forma singular da métrica surge naturalmente no ponto de “rebote”, isto é, na fronteira da transição entre as regiões euclidiana e lorentziana, quando se utilizam sistemas de coordenadas associados à parametrização temporal dos fatores de escala do Universo.

A ocorrência desse tipo de singularidade já havia sido ilustrada pelas métricas dos buracos de minhoca discutidas anteriormente. Existe, contudo, uma diferença importante: enquanto o buraco de minhoca apresenta uma geometria que conecta duas regiões assintoticamente planas, um universo de de Sitter com “rebote” apresenta assinatura lorentziana para valores elevados do fator de escala e assinatura euclidiana para valores pequenos.

A questão da mudança de assinatura métrica, anunciada no título desta seção, conduz, portanto, a um problema fundamental da cosmologia quântica: a possibilidade de que a transição entre regimes geométricos distintos desempenhe um papel decisivo na origem e na evolução do Universo.

Vínculos gravitacionais, o problema do tempo e a terceira quantização

Esta seção começa com uma breve exposição das características específicas da teoria da gravitação de Einstein, responsável pelo conhecido problema do tempo e pela constituição dos fundamentos de uma teoria das transições gravitacionais quânticas com mudança de assinatura do espaço-tempo.

A ação canônica da teoria, formulada no espaço de fases constituído pelos coeficientes da métrica tridimensional, pelos campos materiais e pelos respectivos momentos conjugados, assume uma forma na qual a evolução temporal é descrita por uma combinação de termos cinéticos e vínculos gravitacionais. Nessa formulação, as variáveis fundamentais são a métrica espacial, representada por gab, os campos materiais, representados por fi, e seus momentos conjugados. As funções denominadas “lapse” e “shift”, que descrevem a separação temporal e o deslocamento espacial entre hipersuperfícies sucessivas, também aparecem na ação.

Essas funções não possuem termos com derivadas temporais na ação e atuam como multiplicadores de Lagrange associados aos vínculos gravitacionais, conhecidos como super-hamiltoniano e supermomento. O super-hamiltoniano contém os termos cinéticos da geometria, construídos a partir da supermétrica de DeWitt, além das contribuições dos campos materiais. O supermomento incorpora os termos responsáveis pelos deslocamentos espaciais e pelas propriedades de transformação desses campos.

A variação da ação em relação às variáveis canônicas produz as equações de movimento para as coordenadas e os momentos. A variação em relação aos multiplicadores de Lagrange, por sua vez, produz as equações de vínculo: o super-hamiltoniano e o supermomento devem se anular. Essas condições deixam indeterminados os valores das funções “lapse” e “shift”, refletindo a invariância da ação gravitacional sob difeomorfismos quadridimensionais.

Para as variáveis do espaço de fases, essa invariância é realizada por transformações canônicas geradas pelos vínculos gravitacionais. O super-hamiltoniano gera deformações normais às hipersuperfícies de tempo constante, enquanto o supermomento gera deformações tangenciais. Em conjunto, essas transformações expressam a liberdade de escolha das coordenadas espaço-temporais.

Na terminologia de Dirac, os vínculos pertencem à primeira classe e formam uma álgebra fechada em relação aos parênteses de Poisson no espaço de fases. Isso significa que os vínculos são compatíveis entre si e que suas relações algébricas reproduzem a estrutura geométrica das transformações que preservam a covariância da teoria.

O hamiltoniano de um modelo cosmológico fechado, derivado dessa ação, é uma combinação linear dos vínculos gravitacionais e, por essa razão, anula-se quando as equações de vínculo são satisfeitas. Essa propriedade está na origem do conhecido problema do tempo na cosmologia clássica e quântica.

Na teoria clássica, o problema manifesta-se em uma característica peculiar da função de Hamilton-Jacobi gravitacional. Essa função corresponde à ação calculada ao longo de uma trajetória clássica que conecta duas configurações espaciais, especificadas em instantes inicial e final. As configurações incluem a geometria tridimensional e os campos materiais em cada extremidade da trajetória.

Em virtude dos vínculos gravitacionais, a função de Hamilton-Jacobi satisfaz um sistema de equações obtido pela substituição dos momentos canônicos pelos gradientes funcionais da própria ação. Essas equações correspondem à formulação de Einstein-Hamilton-Jacobi e impõem restrições simultâneas à geometria e aos campos materiais.

Como consequência, a função de Hamilton-Jacobi deixa de depender explicitamente dos instantes inicial e final. Sua expressão depende apenas das configurações geométricas e materiais nas duas extremidades. Desse modo, a função que normalmente caracterizaria a evolução dinâmica de um sistema não apresenta uma dependência explícita do tempo.

Na teoria quântica, o problema reaparece na formulação de Schrödinger associada à quantização de Dirac-Wheeler-DeWitt. Ao contrário do que ocorre nas teorias convencionais sem vínculos de calibre, as variáveis do espaço de fases gravitacional não são todas independentes, pois precisam satisfazer as condições impostas pelos vínculos.

Existem duas maneiras fundamentais de incorporar essa circunstância à quantização. A primeira consiste em tratar os vínculos como relações entre os operadores associados à métrica, aos momentos canônicos e aos campos materiais, impondo relações de comutação compatíveis com essas condições. A segunda consiste em considerar os operadores das variáveis canônicas como independentes e impor os vínculos diretamente sobre os estados quânticos, selecionando aqueles que representam estados físicos dentro do espaço de representação.

A segunda alternativa corresponde ao procedimento de quantização de Dirac. Nesse esquema, os operadores canônicos independentes obedecem às relações de comutação de Heisenberg, enquanto os vínculos gravitacionais são transformados em equações que os estados físicos precisam satisfazer.

Na representação das coordenadas, os estados quânticos são descritos por funcionais da métrica tridimensional e dos campos materiais. Os operadores associados às coordenadas atuam por multiplicação, enquanto os operadores dos momentos conjugados são representados por derivadas funcionais. Com essa substituição, os vínculos gravitacionais passam a assumir a forma de equações diferenciais funcionais que determinam os estados físicos.

Essas equações constituem as principais equações dinâmicas da gravitação quântica canônica e da cosmologia quântica. A primeira delas recebe o nome de equação de Wheeler-DeWitt e corresponde à versão quântica do vínculo hamiltoniano. A segunda expressa os vínculos associados aos deslocamentos espaciais.

Uma consequência direta dessa formulação é a independência dos estados físicos em relação ao tempo externo. Como o hamiltoniano total é uma combinação dos vínculos e esses vínculos se anulam quando atuam sobre os estados físicos, a evolução temporal convencional desaparece da equação fundamental.

À primeira vista, isso conduz à conclusão paradoxal de que o sistema não apresenta dinâmica alguma, pois os valores esperados de operadores quânticos na formulação usual de Schrödinger não dependeriam do tempo. Essa conclusão, entretanto, decorre de uma interpretação excessivamente imediata da estrutura formal.

Um dos motivos para essa dificuldade está no fato de que os produtos internos entre estados físicos são mal definidos ou divergentes quando calculados diretamente na representação funcional. As equações de vínculo são equações diferenciais lineares e homogêneas definidas sobre um espaço de configurações de dimensão infinita. Suas soluções, em geral, não são quadrado-integráveis.

A equação associada aos vínculos espaciais, por exemplo, exige que a função de onda permaneça constante ao longo das órbitas geradas pelos difeomorfismos tridimensionais no espaço das configurações geométricas e materiais. A integração ao longo dessas direções pode divergir, tornando inadequada a definição ingênua do produto interno entre estados.

Essas dificuldades indicam que a formulação de quantização de Dirac-Wheeler-DeWitt não está matematicamente completa quando apresentada apenas dessa maneira. Embora não contenha uma variável temporal externa explícita, ela também não fornece, por si só, um produto interno físico bem definido entre os estados quânticos.

Uma hipótese natural consiste em supor que o tempo físico esteja oculto, ou parametrizado, entre as variáveis do espaço de configurações formado pela métrica tridimensional e pelos campos materiais. Em uma interpretação mais abrangente, essa variável temporal estaria codificada nas próprias variáveis do espaço de fases gravitacional.

Essa hipótese encontra apoio em características adicionais da estrutura da equação de Wheeler-DeWitt. O termo cinético do vínculo hamiltoniano é construído a partir da supermétrica de DeWitt, uma estrutura matemática definida no espaço das geometrias tridimensionais. Diferentemente de uma métrica espacial ordinária, essa supermétrica possui assinatura indefinida.

A presença de sinais positivos e negativos em sua estrutura significa que determinadas direções no espaço das configurações apresentam caráter análogo ao temporal, enquanto outras possuem caráter espacial. Em particular, a direção associada aos modos conformes da métrica tridimensional apresenta o sinal que permite interpretar a equação de Wheeler-DeWitt como uma equação diferencial hiperbólica.

Nessa interpretação, a função de onda quântica propaga-se ao longo de uma variável temporal interna, escondida na estrutura geométrica do espaço de configurações. O tempo deixa de ser um parâmetro externo previamente estabelecido e passa a estar associado a uma das direções da própria supermétrica de DeWitt.

Essa perspectiva abre caminho para uma interpretação da dinâmica gravitacional na qual a evolução temporal emerge da estrutura interna da geometria, em vez de ser introduzida como um parâmetro independente. A questão central passa a ser determinar como essa variável temporal interna pode ser identificada de maneira consistente e como sua interpretação permite recuperar uma descrição física da evolução do Universo.

A emergência do tempo clássico e a aproximação semiclassica

A contribuição mais importante da cosmologia de Vilenkin para a discussão do tempo aparece quando se investiga a passagem entre a descrição quântica do Universo e a geometria clássica. A equação de Wheeler-DeWitt, considerada em sua formulação fundamental, não apresenta um parâmetro temporal externo que organize a evolução da função de onda. Entretanto, determinadas soluções admitem uma aproximação semiclassica na qual a geometria se comporta de maneira suficientemente regular para recuperar as equações de Einstein e uma noção de tempo associada à evolução dessa geometria.

O procedimento consiste em separar, conceitualmente, dois aspectos da função de onda cosmológica: uma componente que descreve a geometria em uma escala macroscópica e outra que representa os graus de liberdade materiais e gravitacionais tratados como perturbações. Quando a geometria apresenta um comportamento semiclassico bem definido, a função de onda pode ser aproximada por uma solução cuja fase varia rapidamente em relação às demais componentes. Essa estrutura permite identificar trajetórias geométricas que obedecem aproximadamente às equações clássicas.

A aproximação semiclassica estabelece, desse modo, uma correspondência entre a fase da função de onda e a ação gravitacional clássica. A geometria passa a admitir uma interpretação semelhante à de uma trajetória clássica no espaço de configurações, enquanto os campos materiais evoluem aproximadamente sobre esse fundo geométrico. O tempo emerge associado à trajetória gravitacional selecionada pela solução quântica.

É necessário compreender com precisão o alcance desse resultado, pois a aproximação semiclassica não acrescenta um relógio externo à teoria. Ela identifica, dentro de determinados estados quânticos, uma estrutura geométrica que permite definir relações temporais entre configurações sucessivas. O tempo recuperado depende do ramo semiclassico considerado e da possibilidade de descrever a geometria por meio de uma trajetória aproximadamente clássica.

Esse mecanismo está relacionado à estrutura hiperbólica da equação de Wheeler-DeWitt. Como a supermétrica de DeWitt apresenta assinatura indefinida, o espaço de configurações contém direções com comportamento matemático semelhante ao de uma variável temporal. Quando uma dessas direções permite organizar a propagação semiclassica da função de onda, surge uma estrutura que admite a interpretação de uma evolução. A escolha depende da dinâmica do modelo e das propriedades da solução considerada. Em cosmologia homogênea, o fator de escala frequentemente desempenha um papel central na identificação dos ramos expansivos e contrativos. Em modelos mais gerais, a relação entre as variáveis geométricas, os campos materiais e a noção de tempo exige uma análise mais elaborada.

A proposta de Vilenkin contribui para esse quadro ao fornecer uma condição de contorno que seleciona estados cosmológicos com uma interpretação semiclassica específica.

A condição de tunelamento privilegia soluções associadas a universos em expansão e estabelece uma relação entre a região quântica e o regime no qual a dinâmica clássica se torna uma descrição apropriada. A seleção do ramo expansivo oferece uma estrutura concreta para estudar a emergência do tempo cosmológico, embora não determine uma solução universal para o problema do tempo em todas as formulações da gravitação quântica.

O ponto decisivo consiste em distinguir a existência de uma solução semiclassica da existência de um tempo fundamental. A primeira significa que determinadas configurações quânticas admitem uma aproximação clássica. A segunda exigiria demonstrar que o tempo possui um estatuto independente dessa aproximação.

A cosmologia de Vilenkin trabalha principalmente com a primeira possibilidade: a recuperação de uma geometria clássica e de sua evolução a partir de uma descrição quântica.

A função de onda, o fluxo de probabilidade e a interpretação física

A ausência de um parâmetro temporal externo na equação de Wheeler-DeWitt também afeta a interpretação probabilística da função de onda. Na mecânica quântica convencional, a evolução temporal está relacionada à conservação da probabilidade e à interpretação dos estados mediante um produto interno definido no espaço de Hilbert. Na cosmologia quântica, a aplicação direta dessas estruturas encontra dificuldades porque a função de onda depende de configurações geométricas e materiais sujeitas a vínculos.

A proposta de tunelamento de Vilenkin procura atribuir significado físico às soluções da equação de Wheeler-DeWitt mediante a análise do fluxo de probabilidade no espaço de configurações. Esse espaço, frequentemente denominado “superespaço”, reúne as geometrias tridimensionais possíveis, consideradas em conjunto com os campos materiais. O fluxo associado à função de onda permite distinguir ramos que correspondem a diferentes orientações da evolução semiclassica.

Em um modelo cosmológico reduzido, a direção do fluxo pode ser relacionada à expansão ou à contração do Universo. A condição de tunelamento seleciona o ramo interpretado como expansivo na região em que a geometria admite uma descrição clássica. A interpretação depende, contudo, da aproximação semiclassica e da identificação de uma variável geométrica que organize a trajetória considerada.

Essa construção oferece um critério de seleção física, mas não elimina automaticamente as dificuldades relativas ao produto interno entre estados. A função de onda cosmológica descreve o sistema inteiro e não um subsistema convencional inserido em um ambiente externo. A definição de probabilidades precisa respeitar essa diferença, especialmente quando o espaço de configurações possui direções não compactas e quando as soluções não são quadrado-integráveis.

Em seu artigo de 1989, “Interpretation of the Wave Function of the Universe”, Vilenkin desenvolveu uma interpretação probabilística na qual a probabilidade e a unitariedade possuem validade aproximada, limitada pela precisão da aproximação semiclassica aplicada ao Universo como um todo. A proposta busca recuperar a interpretação probabilística usual para pequenos subsistemas do Universo e estabelecer uma correspondência com a cosmologia clássica.

Essa posição é relevante porque reconhece que os conceitos de probabilidade e unitariedade precisam ser examinados em relação ao regime de validade da descrição. A função de onda do Universo não dispõe de um observador externo que acompanhe sua evolução e a construção de uma interpretação física depende de como os estados globais se relacionam com as configurações clássicas e com os subsistemas observáveis.

A aproximação semiclassica permite identificar situações nas quais uma interpretação probabilística semelhante à da mecânica quântica convencional se torna possível. Entretanto, a extensão dessa interpretação para o regime plenamente quântico permanece vinculada à estrutura matemática do modelo e às condições sob as quais o fluxo de probabilidade pode ser definido.

A distinção é importante para o problema do tempo porque a interpretação probabilística e a recuperação de uma evolução temporal estão relacionadas, embora não sejam equivalentes.

Um modelo pode identificar um fluxo que distingue universos em expansão sem fornecer, por esse motivo, uma definição completa do produto interno físico. Do mesmo modo, a existência de uma interpretação probabilística aproximada não resolve automaticamente a questão de como construir observáveis independentes das coordenadas. A proposta de Vilenkin oferece uma estratégia para relacionar a função de onda cosmológica a configurações físicas interpretáveis. Sua contribuição está na articulação entre condições de contorno, fluxo de probabilidade e correspondência com a cosmologia clássica, mantendo explícito o caráter aproximado dessa interpretação.

Vilenkin, Hartle e Hawking: duas propostas para o estado inicial

A comparação entre a proposta de tunelamento e a condição de ausência de fronteira de Hartle e Hawking é indispensável para avaliar o alcance da cosmologia de Vilenkin.

As duas abordagens procuram determinar a função de onda do Universo mediante condições que selecionam soluções da equação de Wheeler-DeWitt.

A diferença fundamental está na prescrição adotada para caracterizar o estado cosmológico inicial e no comportamento resultante das soluções.

Na proposta de ausência de fronteira, a função de onda é construída mediante uma integração sobre geometrias euclidianas compactas apropriadas à configuração espacial considerada. A ideia consiste em formular a descrição quântica de modo que a geometria não apresente uma fronteira inicial convencional. A proposta de tunelamento seleciona uma solução associada à saída do regime quântico em direção a universos em expansão.

Essas diferenças são condições de contorno determinam quais componentes da função de onda são privilegiadas e influenciam as distribuições de probabilidade atribuídas aos estados cosmológicos iniciais. Em modelos com campos escalares e potenciais capazes de sustentar uma fase inflacionária, a escolha entre as duas propostas pode modificar a avaliação da probabilidade relativa de diferentes configurações iniciais.

No estudo publicado em 1988, Vilenkin comparou explicitamente as distribuições associadas às duas prescrições e encontrou resultados diferentes para os estados que conduzem à inflação. No modelo considerado, a função de onda de tunelamento favorecia estados iniciais inflacionários, enquanto a condição de Hartle e Hawking não produzia a mesma conclusão.

Essa divergência demonstra que a equação de Wheeler-DeWitt, por si só, é incapaz de determinar uma única cosmologia inicial. A escolha da função de onda constitui parte substantiva da teoria e precisa ser justificada por critérios matemáticos e físicos. A proposta de Vilenkin representa uma tentativa de estabelecer essa escolha por meio de uma condição que privilegia universos emergentes com comportamento expansivo.

O debate também evidencia uma dificuldade metodológica: é inútil identificar uma solução matematicamente admissível e interpretá-la como descrição do Universo real. É necessário examinar a estabilidade das perturbações, a consistência da aproximação semiclassica e a compatibilidade entre a função de onda proposta e os resultados da cosmologia observacional.

A pesquisa de Vilenkin e Masaki Yamada, publicada em 2018, ilustra essa preocupação. Os autores compararam três formulações da função de onda de tunelamento: as condições de contorno no superespaço, a integral de trajetória lorentziana e a descrição do tunelamento a partir de um universo de tamanho inicial nulo. No modelo investigado, demonstraram a equivalência entre as funções de onda obtidas pelas três abordagens quando são impostas as condições apropriadas aos modos do campo escalar. O trabalho também examinou o comportamento das flutuações quânticas.

O resultado fortalece a consistência interna da proposta em uma classe específica de modelos. Ele mostra que formulações inicialmente distintas podem conduzir à mesma função de onda quando os termos de fronteira e as condições dos campos são tratados adequadamente.

Para o problema do tempo, a comparação revela uma consequência importante: a recuperação da dinâmica clássica depende tanto da estrutura da equação quanto da seleção dos estados cosmológicos. A função de onda escolhida determina quais ramos semiclassicos entram na descrição e, por conseguinte, quais trajetórias geométricas admitem uma interpretação temporal aproximada.

A relação com a terceira quantização e a multiplicidade de universos

A terceira quantização, discutida na seção anterior, amplia a investigação ao tratar a própria função de onda cosmológica como um campo sujeito a uma teoria quântica. Na quantização canônica convencional da gravitação, os estados físicos são funcionais da geometria e da matéria. Na terceira quantização, a função que descreve esses estados passa a ser interpretada como um objeto dinâmico em um espaço de configurações, com operadores de criação e aniquilação associados a universos.

Essa mudança de perspectiva permite formular processos nos quais o número de universos varia. Um universo pode ser representado como uma excitação do campo cosmológico, e as interações desse campo admitem uma interpretação em termos de nascimento, desaparecimento ou transição entre diferentes configurações universais. A proposta desloca o problema da cosmologia quântica para uma estrutura semelhante à teoria quântica de campos, embora definida sobre o espaço de configurações gravitacionais.

Vilenkin examinou expressamente a terceira quantização em sua revisão “Approaches to Quantum Cosmology”, publicada em 1994. O trabalho aborda diferentes propostas para a função de onda do Universo, a relação entre integrais de trajetória lorentzianas e condições de onda de saída, as mudanças topológicas e as modificações correspondentes da equação de Wheeler-DeWitt.

A relação entre a proposta de tunelamento e a terceira quantização exige, entretanto, uma distinção. A primeira seleciona uma função de onda cosmológica por meio de condições de contorno e descreve a emergência de universos em expansão. A segunda procura construir uma teoria na qual a multiplicidade de universos e suas interações adquiram um significado operacional.

A aproximação entre as duas abordagens surge quando a criação quântica de universos é interpretada como um processo descrito por um campo cosmológico: a função de onda de tunelamento pode contribuir para especificar determinados estados ou processos elementares, enquanto a terceira quantização fornece a estrutura na qual diferentes universos são tratados como possíveis excitações do campo.

Essa associação também oferece uma perspectiva para compreender as mudanças topológicas discutidas anteriormente. Se a geometria do Universo integra um espaço de configurações quântico, transições entre configurações com topologias distintas exigem uma formulação que permita tratar a mudança da própria estrutura espacial. A terceira quantização procura fornecer uma linguagem para investigar processos desse tipo, embora a construção de uma teoria consistente dependa de questões ainda mais amplas, incluindo a definição dos estados físicos e a regularização das interações.

O problema do tempo reaparece sob uma forma mais complexa. Na terceira quantização, é necessário distinguir o tempo associado à evolução de um universo individual do parâmetro utilizado para descrever a dinâmica do campo cosmológico no espaço de configurações. A existência de um campo de universos não elimina automaticamente a ausência de um tempo externo na gravitação fundamental.

Vilenkin buscou conectar a discussão das condições de contorno à possibilidade de uma descrição quântica da criação de universos.

Sua pesquisa fornece elementos para a construção dessa ponte conceitual, mas a terceira quantização permanece uma extensão teórica cuja consistência precisa ser examinada independentemente da validade de um modelo específico de tunelamento.

O que a cosmologia de Vilenkin resolve e o que permanece em aberto

Precisamos separar os problemas que a cosmologia de Vilenkin enfrenta diretamente daqueles que apenas ajuda a reformular. A cosmologia de Vilenkin oferece uma resposta definida para a escolha de uma função de onda em modelos cosmológicos simplificados: a condição de tunelamento seleciona soluções associadas à emergência de universos em expansão. Essa construção permite relacionar o regime quântico inicial a uma geometria de de Sitter e investigar as condições que favorecem uma fase inflacionária.

O primeiro resultado consiste na formulação de um mecanismo matemático para descrever a emergência de uma geometria clássica a partir de uma configuração quântica-limite. O modelo substitui a extrapolação direta da cosmologia clássica até uma singularidade por uma descrição na qual a transição inicial é tratada mediante uma função de onda cosmológica.

A interpretação desse resultado permanece restrita às hipóteses do modelo e não constitui uma demonstração de que toda singularidade gravitacional seja eliminada por uma teoria quântica completa.

O segundo resultado está na seleção dos ramos semiclassicos. A condição de tunelamento privilegia soluções interpretadas como universos em expansão, permitindo relacionar a função de onda a uma direção definida do fluxo de probabilidade no espaço de configurações. Essa seleção fornece uma estrutura para estudar a emergência da dinâmica clássica e a identificação de uma noção de tempo cosmológico.

O terceiro resultado consiste na análise das distribuições de probabilidade associadas aos estados iniciais. A comparação com a proposta de Hartle e Hawking demonstra que condições de contorno diferentes produzem consequências distintas para os cenários cosmológicos favorecidos. Isso transforma a escolha da função de onda em um problema físico relevante para a cosmologia quântica.

O quarto resultado diz respeito à interpretação probabilística. Vilenkin propõe uma estrutura na qual a probabilidade e a unitariedade são recuperadas aproximadamente no regime em que a descrição semiclassica do Universo é válida. Essa abordagem permite estabelecer uma correspondência entre a função de onda cosmológica e a interpretação probabilística convencional de subsistemas físicos.

Esses resultados não resolvem integralmente o problema do tempo. A condição de tunelamento não introduz uma variável temporal fundamental na equação de Wheeler-DeWitt. A emergência do tempo continua associada à existência de ramos semiclassicos nos quais a geometria pode ser descrita aproximadamente por trajetórias clássicas. A proposta oferece uma estrutura para recuperar o tempo cosmológico em determinado regime, sem demonstrar que o problema tenha uma solução universal.

Também permanece em aberto a definição rigorosa do produto interno físico. A escolha de uma função de onda e a identificação de um fluxo de probabilidade não garantem, por si sós, a construção de um espaço de estados físicos com todas as propriedades necessárias à interpretação quântica. A questão exige uma análise das condições de normalização, dos vínculos gravitacionais e dos observáveis que podem ser definidos independentemente das coordenadas.

Outro problema consiste na seleção da própria condição de contorno. A proposta de tunelamento constitui uma prescrição teórica, e sua adoção precisa ser justificada por critérios de consistência e pelas consequências físicas que produz. A comparação com Hartle e Hawking mostra que a equação de Wheeler-DeWitt admite diferentes propostas de estado inicial, cada uma associada a uma interpretação específica.

A inclusão de perturbações e campos quânticos acrescenta novas exigências, uma delas é a estabilidade das flutuações, também a retroação dos campos sobre a geometria e a consistência das integrais de trajetória precisam ser examinadas em cada modelo.

Os trabalhos de Vilenkin e Yamada mostram que condições apropriadas podem produzir resultados consistentes para as flutuações escalares em uma classe de modelos de de Sitter, mas essa conclusão não elimina todas as dificuldades da gravitação quântica.

A terceira quantização amplia o problema ao introduzir a possibilidade de criação e interação entre universos. Entretanto, uma teoria de múltiplos universos precisa estabelecer como os estados são definidos, como as interações são regularizadas e como as probabilidades são interpretadas. A proposta de tunelamento fornece uma descrição de determinados processos de emergência cosmológica, enquanto a terceira quantização procura formular uma estrutura mais abrangente para a dinâmica do campo de universos.

A distinção entre esses níveis impede que resultados específicos sejam apresentados como soluções definitivas. A cosmologia de Vilenkin contribui para a compreensão das condições iniciais, da emergência de uma geometria clássica e da seleção de ramos expansivos. O problema completo do tempo na gravitação quântica envolve, além disso, a definição de observáveis, a construção do produto interno físico e a recuperação de uma dinâmica coerente em regimes que não admitem uma aproximação semiclassica simples.

Uma interpretação física do tempo como propriedade emergente

A importância da cosmologia de Vilenkin para o problema do tempo reside na possibilidade de tratar a evolução cosmológica como uma propriedade emergente de determinados estados quânticos da geometria. Na formulação canônica da gravitação, a função de onda do Universo satisfaz os vínculos gravitacionais, e a evolução temporal externa desaparece da equação fundamental.

A condição de tunelamento oferece um caminho para investigar como essa descrição pode recuperar uma história cosmológica. A função de onda selecionada contém ramos que, na aproximação semiclassica, correspondem a universos em expansão. Nesses ramos, a geometria apresenta um comportamento suficientemente regular para que a evolução clássica seja recuperada e para que o tempo cosmológico adquira significado operacional.

Essa emergência não precisa ser entendida como a produção de uma substância temporal a partir de outra entidade. O que emerge é uma estrutura de relações entre configurações físicas, capaz de ordenar acontecimentos e de sustentar uma descrição dinâmica. O tempo cosmológico torna-se identificável quando a geometria e os campos materiais admitem uma trajetória semiclassica que organiza a evolução do sistema.

A proposta permite também compreender por que a pergunta sobre o início do Universo exige uma formulação diferente daquela utilizada na cosmologia clássica. Se o tempo pertence à estrutura geométrica que emerge do regime quântico, a origem do Universo não precisa corresponder a um acontecimento localizado em um tempo externo. O problema passa a consistir na determinação das condições quânticas que admitem uma continuação clássica e na identificação dos estados que produzem uma geometria expansiva.

Entretanto, a emergência do tempo cosmológico em uma aproximação semiclassica não demonstra que o tempo seja necessariamente emergente em todas as formulações da natureza. Ela mostra que a ausência de um parâmetro temporal externo na equação de Wheeler-DeWitt não impede a recuperação de uma descrição temporal em determinados regimes. A passagem entre essas duas descrições constitui um dos problemas centrais da gravitação quântica.

A proposta de Vilenkin ganha relevância precisamente porque vincula a discussão do tempo a uma questão física concreta: quais condições quânticas permitem a emergência de um universo cuja geometria obedece aproximadamente às equações de Einstein? A resposta envolve a função de onda cosmológica, as condições de contorno, o fluxo de probabilidade e a estabilidade da aproximação semiclassica.

A cosmologia de tunelamento também estabelece uma conexão entre a origem do Universo e a estrutura probabilística da teoria quântica. A função de onda descreve um conjunto de configurações possíveis, e a condição de contorno determina como essas possibilidades são organizadas. A interpretação física depende da relação entre a função de onda e os ramos clássicos que emergem dela.

Essa abordagem oferece uma alternativa à exigência de um estado inicial clássico especificado em um tempo anterior à evolução cosmológica. Ao mesmo tempo, deixa em aberto a justificação fundamental da condição de tunelamento e a construção de uma teoria quântica completa da geometria. A proposta deve ser avaliada como uma estrutura de investigação sobre a origem e a evolução do Universo, e não como uma demonstração definitiva da inexistência de um estado anterior ou da solução integral do problema do tempo.

A relação com a terceira quantização reforça esse ponto. Se a função de onda do Universo for tratada como um campo quântico, a criação de universos poderá ser investigada como um processo dinâmico em um espaço de configurações. Essa formulação amplia a questão para além de um único universo e exige uma teoria capaz de tratar as interações entre diferentes configurações cosmológicas. A emergência do tempo em um universo individual e a dinâmica do campo cosmológico permanecem problemas relacionados, mas conceitualmente distintos.

A contribuição de Vilenkin consiste em fornecer uma proposta explícita para a função de onda cosmológica e em demonstrar como determinadas condições de contorno conduzem a uma geometria em expansão. A partir dessa estrutura, torna-se possível estudar a recuperação do tempo clássico, a distribuição dos estados iniciais e a relação entre a cosmologia quântica e a inflação.

A cosmologia de Alexander Vilenkin permite reformular a questão da origem do Universo a partir das condições quânticas que antecedem a validade de uma descrição espaço-temporal clássica. Sua proposta de tunelamento estabelece uma relação entre a função de onda cosmológica e a emergência de universos em expansão, oferecendo uma estrutura matemática para investigar a passagem entre o regime quântico e a dinâmica gravitacional descrita pelas equações de Einstein.

Em relação ao problema do tempo, sua contribuição consiste em mostrar como uma teoria sem parâmetro temporal externo explícito pode admitir soluções que recuperam uma evolução cosmológica aproximada. A identificação de ramos semiclassicos permite definir um tempo associado à geometria e à dinâmica dos campos, enquanto a condição de contorno estabelece quais soluções são privilegiadas pela proposta.

O alcance dessa contribuição deve ser compreendido em conjunto com seus limites. A condição de tunelamento não resolve isoladamente o problema do produto interno físico, não determina uma condição de contorno universal e não estabelece uma teoria completa das transições topológicas ou das interações entre universos. Esses problemas exigem desenvolvimentos adicionais na gravitação quântica canônica, nas integrais de trajetória e na terceira quantização.

A questão fundamental permanece sendo a relação entre a descrição quântica do Universo e a experiência de uma realidade submetida a uma evolução temporal. A cosmologia de Vilenkin oferece uma das construções mais explícitas para investigar essa relação, vinculando a emergência do tempo à possibilidade de recuperar uma geometria clássica a partir de uma função de onda cosmológica. Sua importância teórica reside nessa articulação entre condições iniciais, estrutura probabilística e dinâmica gravitacional, que permite estudar a origem do tempo cosmológico sem pressupor um relógio externo ao próprio Universo.

Referências bibliográficas

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